타일-센 추정 회귀직선 계산기

모든 점 쌍의 기울기를 구해 그 중앙값을 회귀 기울기로 씁니다. 절편은 median(yᵢ − m·xᵢ)로 잡습니다. 중앙값은 극단값에 꿈쩍하지 않으므로, 점 하나가 아무리 멀어도 그 점이 만드는 기울기들은 정렬된 목록의 끝으로 갈 뿐 가운데를 밀지 못합니다.

최소제곱은 오차의 제곱을 줄이므로 멀리 있는 점 하나가 다른 점 백 개보다 크게 말합니다. 그래서 잘못 옮겨 적은 값 하나가 직선을 통째로 기울여 놓습니다. 타일-센은 중앙값을 쓰기 때문에 그런 점에 끌려가지 않습니다. 이 계산기는 두 직선을 나란히 놓아 차이를 보여 줍니다.

자료의 29.3%까지 망가져도 추정값이 유한하게 남는다는 뜻입니다. 최소제곱은 점 하나만 무한대로 보내도 무너져 붕괴점이 0입니다. 값이 1 − 1/√2인 이유는, 점 n개 중 k개가 망가지면 성한 쌍이 (n−k)(n−k−1)/2개인데 이것이 전체 쌍의 절반을 넘어야 중앙값이 성한 쪽에 남기 때문입니다.

아닙니다. 오차가 정말로 정규분포를 따르는 깨끗한 자료에서는 최소제곱이 더 효율적입니다. 타일-센의 상대효율은 약 2/π, 곧 64% 정도로 알려져 있어 같은 정밀도를 얻으려면 표본이 더 필요합니다. 또 쌍이 n(n−1)/2개라 계산량이 점 수의 제곱으로 늡니다. 이상치가 없다고 확신할 수 있으면 최소제곱을 쓰는 편이 낫습니다.

이상치가 있다는 신호이므로 자료를 먼저 확인해야 합니다. 잘못 옮겨 적었거나 단위가 다르거나 측정이 실패한 값이 섞여 있는지 보세요. 어느 쪽 직선이 맞는지는 통계가 아니라 자료를 아는 사람이 정합니다. 이상치가 진짜 관측값이라면 버리면 안 됩니다.

켄달 타우 통계량의 분산 Var(S) = n(n−1)(2n+5)/18을 빌려 C = z·√Var(S)를 구하고, 정렬한 기울기 목록에서 (N−C)/2 번째와 (N+C)/2 번째를 양 끝으로 삼습니다. 자리를 정수로 맞추는 방법이 구현마다 달라서, 이 계산기는 아래는 내림 위는 올림으로 구간을 넓게 잡는 쪽을 골랐습니다. 다른 도구와 값이 조금 다를 수 있습니다.

그 쌍은 기울기를 정의할 수 없으므로 건너뜁니다. 건너뛴 쌍의 개수를 함께 보여 줍니다. 동점이 많으면 신뢰구간에 쓰는 분산이 과대평가가 되어 구간이 실제보다 넓어진다는 점도 감안해 주세요.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.