세차운동 계산기

Ω = τ/(I·ω) = m·g·r/(I·ω)로 구합니다. τ는 중력이 만드는 토크, I는 관성모멘트, ω는 스핀 각속도, r은 지지점에서 무게중심까지의 거리입니다. 관성모멘트 0.135kg·m²인 바퀴가 600rpm으로 돌고 무게중심이 지지점에서 0.2m 떨어져 있다면 세차 주기는 약 9초입니다.

토크가 각운동량의 크기가 아니라 방향을 바꾸기 때문입니다. 각운동량 L = Iω는 회전축 방향을 가리키는 벡터이고, 중력이 만드는 토크는 이 축과 수직입니다. τ = dL/dt이므로 L의 크기는 그대로 두고 방향만 돌리게 되어, 축이 넘어지는 대신 원뿔을 그립니다. 이 회전이 세차입니다.

세차 각속도가 스핀에 반비례하기 때문입니다. Ω = mgr/(Iω)의 분모에 ω가 있어서, 스핀이 절반이 되면 세차가 두 배 빨라집니다. 게다가 이 식 자체가 세차가 스핀보다 훨씬 느릴 때만 성립하는 근사라, 스핀이 충분히 느려지면 축이 위아래로 흔들리는 장동이 겹치고 결국 넘어집니다.

도는 물체를 억지로 선회시킬 때 축이 받는 토크로, C = I·ω·Ω로 구합니다. 세차 식을 거꾸로 읽은 것입니다. 배가 방향을 틀 때 터빈 축이 받는 힘, 오토바이가 기울며 도는 원리, 헬리콥터 로터의 위상 지연이 모두 이 항입니다. 회전체가 무겁고 빠를수록 커집니다.

약 25,772년 주기로 세차합니다. 지구 적도가 부풀어 있어 태양과 달이 그 부분을 당기고, 그 토크가 자전축을 돌리기 때문입니다. Ω = (3/2)(GM/a³)·H·cosε/ω로 계산하면 태양만으로는 약 81,000년, 달까지 더하면 약 25,800년이 나와 관측값과 0.3% 안에서 맞습니다. 달의 기여가 태양의 2.15배인데, 훨씬 가볍지만 훨씬 가깝고 조석 토크가 거리의 세제곱으로 들어가기 때문입니다.

세차하는 축이 다시 작게 흔들리는 성분이며 이 계산기의 범위 밖입니다. 지구의 경우 달 궤도면이 18.6년 주기로 흔들리며 만드는 것이 대표적이고, 팽이에서는 축이 파도치듯 오르내리는 모습으로 보입니다. 스핀이 빠르면 무시할 만하지만 느려지면 무시할 수 없어져 Ω = τ/(Iω)라는 근사가 깨집니다.