정다면체 계산기

한 꼭짓점에 모이는 각의 합이 360°보다 작아야 하기 때문입니다. 면이 정 p각형이면 내각은 180°(p−2)/p이고, 한 꼭짓점에 q개가 모이면 그 합이 360° 미만이어야 접혀서 입체가 됩니다. 정리하면 (p−2)(q−2) < 4이고, p와 q가 3 이상인 정수 중 이를 만족하는 것은 {3,3} {3,4} {3,5} {4,3} {5,3} 다섯 쌍뿐입니다.

겉넓이 × 내접구 반지름 ÷ 3입니다. 내접구가 모든 면에 닿으므로 중심에서 각 면으로 잘라 내면 높이가 전부 내접구 반지름과 같은 뿔이 되고, 그 부피를 다 더한 것이 전체 부피입니다. 구의 부피가 겉넓이 × 반지름 ÷ 3인 것과 같은 이치입니다. 한 변이 1일 때 정사면체는 √2/12, 정육면체는 1, 정팔면체는 √2/3, 정십이면체는 (15+7√5)/4, 정이십면체는 5(3+√5)/12입니다.

꼭짓점 − 모서리 + 면 = 2라는 관계입니다. 정다면체 다섯 개 모두에서 성립하고, 구멍이 없는 볼록다면체라면 무엇이든 성립합니다. 각도로 바꿔 쓰면 데카르트 정리가 되는데, 각 꼭짓점에서 360°에 모자라는 각(각결손)을 모두 더하면 언제나 720°입니다.

면의 중심을 서로 이어 만든 다면체입니다. 슐레플리 기호 {p, q}의 쌍대는 {q, p}이고, 면 수와 꼭짓점 수가 서로 바뀌며 모서리 수는 그대로입니다. 정육면체와 정팔면체가 짝, 정십이면체와 정이십면체가 짝이고, 정사면체는 자기 자신이 쌍대입니다.

정이십면체입니다. 같은 겉넓이로 가장 큰 부피를 담아 구형도(36πV²/S³)가 0.829로 가장 높습니다. 다만 외접구를 채우는 비율은 순서가 달라서, 정십이면체가 정이십면체보다 외접구를 더 많이 채웁니다. 꼭짓점이 적은 쪽이 구 쪽으로 덜 뾰족하게 뻗기 때문입니다.

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